به عنوان جایگزینی برای اثبات ارائه شده توسط انصاری و بوردن، [ 1]، ما در این مقاله یک اثبات ساده و مستقل ارائه می کنیم که عملگرهای طول پا فرادوری نیستند. در مقایسه با اثبات آن ها، که مبتنی بر نتیجه ای است که نشان می دهد عملگرهای طول پا همیشه دارای زیرفضاهای پایای غیربدیهی هستند، [ 6]، اثبات ما مستقل از این نتیجه بوده و بطور مستقیم نشان می دهد که عملگرهای طول پا بردارهای فرادوری ندارند.

مسئله های تعادل کاربردهای فراوانی در نظریه بهینه سازی و آنالیز محدب دارند و به همین دلیل است که روش های متفاوتی برای حل مسئله های تعادل درفضاهای مختلف از جمله فضاهای هیلبرت و فضاهای باناخ ارائه شده است. هدف این مقاله، ارائه روشی برای به دست آوردن جواب مسئله تعادل در فضاهای باناخ می باشد. در واقع، یک الگوریتم نقطه مبدایی ترکیبی با استفاده از حلال یک عملگر یکنوای ماکسیمال در فضای باناخ را در نظر می گیریم. تحت شرایطی مناسب، همگرایی قوی دنباله تولید شده توسط الگوریتم به ریشه عملگر یکنوای ماکسیمال را ثابت می کنیم. به عنوان کاربردی از نتیجه اصلی و با استفاده از قضایای ثابت شده، برای هر دوتابع یکنوا می توانیم یک عملگر یکنوای ماکسیمال ارائه کنیم به طوریکه، ریشه عملگر یکنوای ماکسیمال همان جواب مسئله تعادل باشد. نتایج این مقاله، تعدادی از نتایج حاصل شده در مقالات مختلف را تعمیم داده یا بهبود می بخشد.

فرض کنید A یک جبر باناخ باشد. ما نشان می دهیم که اگر A یک ایده ال انقباض پذیر از یک جبر باناخ B باشد آنگاه AÅAnn(A) = B برقرار است. سپس وجود یک خود توان می نیمال مرکزی را در یک جبر باناخ انقباض پذیر که یک تابعک ضربی ناصفر روی آن موجود باشد ثابت می کنیم. همچنین مفهوم –b انقباض پذیری و یکی از فرم های معادل آن را معرفی می کنیم و با مثالی نشان می دهیم که –b انقباض پذیری به طور اکید از انقباض پذیری ضعیف تر است.

مفهوم جبر های باناخ تصویری تقریبی توسط پورمحمود آقابابا [15]، آریستوف [2]، و ژانگ[19] معرفی شده که هریک از جنبه متفاوتی تقریب را مد نظر قرار داده اند. در این مقاله تعریف ارائه شده توسط پورمحمود آقابابا را مبنا قرار می دهیم که ضمن اینکه عمومی تر بوده و شرایط محدود کننده به مراتب کمتری دارد، دارای مثال های متنوع و جالب از رده های گوناگون جبرهای باناخ نیز می باشد. چندین ویژگی موروثی از این مفهوم را مورد بررسی قرار می دهیم، در حقیقت نشان می دهیم که تصویری تقریبی بودن دوگان دوم جبر باناخ تحت ضرب آرنز، تصویری تقریبی بودن خود را ایجاب می کند. در ادامه تصویری تقریبی بودن را روی جبرهای باناخ ادغامی که یک تعمیم مبتکرانه از جمع مستقیم جبرهای باناخ است و شامل یکدار شده، ضرب لائو، ضرب نیم مستقیم و توسیع مدولی جبرهای باناخ می شود، مطالعه می کنیم. ثابت می کنیم جمع وند اول در یک جبر باناخ ادغامی تصویری تقریبی، تصویری تقریبی است در صورتیکه برای دست یافتن به نتیجه مشابه روی جمع وند دوم مفروضات بیشتری نیاز خواهد بود.

در این مقاله به شرح و بیان اثباتی مستقل  از پارادوکس باناخ-تارسکی می پردازیم. این پارادوکس مبتنی‎‏ بر اصل انتخاب است.